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Sommaire 1 Organisation du cours 2007-2008 1.1 Séance 1 : introduction 1.1.1 Cours : Présentation générale 1.1.2 TD : équation des ondes 1D 1.2 Séance 2 : solutions explicites 1.2.1 Cours : 1.2.2 TD : Equation des ondes 1D (suite) 1.3 3ème séance : Existence et unicité pour le problème de diffraction 1.3.1 Cours 1.3.2 TD : Analyse de problème de diffraction 3D 1.4 4ème séance : Méthode des différences finies en domaine temporel 1.4.1 Cours 1.4.2 TD : Quelques propriétés du schéma aux différences finies 1.5 5ème séance : Représentation des solutions dans l’espace libre 1.5.1 Cours 1.5.2 TD 1.6 6ème séance : Représentation intégrale & équations intégrales 1.6.1 Cours 1.6.2 TD 1.7 7ème séance : TP FDTD 1.8 8ème séance : Applications et BEM 1.8.1 Cours 1.8.2 TD 1.9 9ème séance : Suite BEM, temporel et FMM

Organisation du cours 2007-2008

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Séance 1 : introduction

Cours : Présentation générale

1. Applications et présentation du cours §1.4
2. Modélisation §1.2.1 et §1.2.2

TD : équation des ondes 1D

1. D’Alembert §2.2.1 et §2.2.2. Feuille d'exercice No. 1 - exo 1
2. Energie §2.2.4 Feuille d'exercice No. 1 - exo 2

Séance 2 : solutions explicites

Cours :

Cette séance est consacrée au calcul de quelques solutions explicites d’équations d’onde, en particulier les solutions élémentaires de ces équations. Ceci permet d’introduire naturellement des notions importantes comme la causalité et la condition de radiation.

• Formule de D’Alembert en dimension 1 d’espace

Il s'agit essentillement d'un rappel 1ère séance : c'est le premier exemple de solution explicite dans tout l’espace, puis d'une solution du problème de Cauchy.

• Solutions du problème homogène dans considéré homogène
  1. Ondes planes en électromagnétisme : domaines temporel et fréquentiel (Formules de calcul vectoriel). §1.3.2
  2. Ondes sphériques scalaires (Nous verrons plus loin qu’il s’agit d’intégrales d’ondes planes). §1.3.3
  3. Notions de causalité et condition de radiation de Sommerfeld §1.3.3
• Définition du problème de diffraction §1.3.4
  1. Définition d’un obstacle : perturbation du milieu homogène infini
  2. Onde incidente : solution dans tout l’espace de l’équation avec second membre (terme source)
  3. Onde diffractée : perturbation de l’onde incidente par la présence de l’obstacle

TD : Equation des ondes 1D (suite)

1. Analyse de Fourier en espace §2.3.3 Feuille d'exercice No. 1 - exo3
2. Fonction de Green §2.4.1 et §2.4.2 Feuille d'exercice No. 1 - exo4

3ème séance : Existence et unicité pour le problème de diffraction

Cours

• Solution élémentaire pour l’équation des ondes scalaire §3.2.1
  1. Rappel de la solution élémentaire du Laplacien
  2. Calcul de la solution élémentaire de l’équation de Helmholtz.

• Résolution explicite pour la symétrie sphérique
  1. Harmoniques sphériques §3.3.1
  2. Résolution du problème de Dirichlet §3.3.2 et §3.3.3
  3. Opérateur de Dirichlet-Neumann §3.3.4

• Eléménts pour l'analyse du problème de diffraction fréquentiel
  1. Définition d'un problème dans un domaine tronqué équivalent au problème de diffraction fréquentiel §3.4.3
  2. Formulation variationnelle du problème dans le domaine tronqué. §3.4.4
  3. Principe de la preuve d'existence et unicité. §3.4.4

TD : Analyse de problème de diffraction 3D

1. Dipôles électriques et magnétiques §3.2.2 Feuille 2 - exo1
2. Solutions explicites avec symétrie sphérique §3.3.2, §3.3.3 et §3.3.4 Feuille d'exercice No. 2 - exo2
3. Solution élémentaire de l'équation de Helmholtz en 3D §3.2.1 Feuille d'exercice No. 2 - exo3

4ème séance : Méthode des différences finies en domaine temporel

Cours

• Première analyse sur le cas simplifié de la dimension 1
  1. Le schéma saute-mouton §4.2.3
  2. Vitesse de propagation numérique. Condition nécessaire de convergence §4.2.4
  3. Identité d'énergie §4.2.5

• Schéma FDTD pour le système de Maxwell en dimension 3
  1. Le schéma de Yee §4.3.1
  2. Propriétés discrètes du schéma de Yee §4.3.2
  3. Analyse de stabilité §4.3.2 et §4.3.3

TD : Quelques propriétés du schéma aux différences finies

1. Dispersion numérique §4.2.7 et §4.3.3 Feuille d'exercice No. 3 - exo1
2. Analyse des θ-schémas Feuille d'exercice No. 3 - exo2

5ème séance : Représentation des solutions dans l’espace libre

Cours

• Principes généraux de la méthode des équations intégrales
  1. Fonction de Green
  2. Solution dans l'espace libre
  3. Formule de représentation intégrale
  4. Conditions aux limites et équation intégrale
  5. Formulation variationnelle
  6. Approximation variationnelle - éléments finis de frontière
• Théorème de représentation intégrale
  1. Représentation de la pression solution équation de Helmholtz
  2. définition potentiels simple et double couche
  3. problématique des traces des potentiels sur le bord. OK pour la trace 0, à faire pour la trace 1 (dérivée normale)
  4. remarque sur la singularité des noyaux

TD

• Rayonnement de sources dans l'espace libre §5.3
  1. Rappels sur les solutions élémentaires et leur utilisation
  2. Deux approches possibles : équation du second ordre (Helmholtz en p) ou le système du second ordre équivalent (acoustique en p et V)
  3. Sources ponctuelles, convolution et translation. Relation entre le rayonnement d'une source de force et une source de débit dipolaire

6ème séance : Représentation intégrale & équations intégrales

Cours

• Rappels séance précédente et commentaires sur la formule de représentation intégrale :
  1. c'est l'intégrale sur une surface du rayonnement d'une densité de monopôles et de dipôles. Ceci conduit à introduire les distributions de simple et double couche :
     • distribution de simple couche : densité surfacique de monopôles
     • distribution de double couche : c'est la densité surfacique de dipôles

Lien avec les monopôles et dipôles

• Rayonnement de sources ponctuelles, volumiques et surfaciques
  1. Sources ponctuelles, convolution et translation. Relation entre le rayonnement d'une source de force et une source de débit dipolaire
  2. Sources volumiques, même remarque que précédemment entre le rayonnement des sources de l'équation de Helmholtz et celles du systme de l'acoustique. Intégration par partie pour reporter un rot sur la densité de force
  3. Sources surfaciques de type potentiel de simple couche : énoncé et propriétés.
  4. Idem pour les sources surfaciques de type potentiel de double couche. Ne pas rentrer dans un discours sur les opérateurs différentiels surfaciques. Dire juste que la formule avec le rot surfacique et la généralisation au 3D d'une dérivée par rapport à l'abscisse curviligne si Γ était une courbe en 2D ;
• Théorème de représentation intégrale (nouvelle preuve et suite)
  1. Lemme des sauts (rappel 1D et 3D pour la dérivée , énoncé sans preuve de la formule pour le Laplacien)
  2. Représentation de p et V
  3. Traces. Notations et écriture matricielle des traces.
• Equations intégrales
  1. Prolongement arbitraire  : n'a pas influence (en théorie) sur la solution dans le domaine extérieur (cf. théorème de représentation intégrale)
  2. Problème de Dirichlet extérieur avec prolongement continu

(fait rapidement)

TD

Feuille d'exercice No. 4  :

• Exo 1 : Asymptotique champ lointain ;
• Exo 2 : Projecteur de Calderón

7ème séance : TP FDTD

8ème séance : Applications et BEM

Cours

• Equations intégrales (suite)
  1. Equivalence (ou non) des équations intégrales et du problème aux limites
  2. EFIE et formulation variationnelle
• Applications
  1. Angle solide
• BEM
  1. Simple couche en P0
  2. Eléments finis H(div) et approximation de l'EFIE
  3. Complexité, mémoire...
  4. Remarques pratiques

TD

• Feuille d'exercice No. 4 - Exo 3 : Modes intérieurs ;
• Feuille d'exercice No. 5 - Exo 1 : Calcul de l'opérateur de Dirichlet-Neumann à l'aide des opérateurs intégraux

9ème séance : Suite BEM, temporel et FMM

Cours : approfondissement §6.2 & §6.3

• BEM