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Sommaire 1 Organisation du cours 2007-2008 1.1 Séance 1 : introduction 1.1.1 Cours : Présentation générale 1.1.2 TD : équation des ondes 1D 1.2 Séance 2 : solutions explicites 1.2.1 Cours : 1.2.2 TD : Equation des ondes 1D (suite) 1.3 3ème séance : Existence et unicité pour le problème de diffraction 1.3.1 Cours 1.3.2 TD : Analyse de problème de diffraction 3D 1.4 4ème séance : Méthode des différences finies en domaine temporel 1.4.1 Cours 1.4.2 TD : Quelques propriétés du schéma aux différences finies 1.5 5ème séance : Représentation des solutions dans l’espace libre 1.5.1 Cours 1.5.2 TD 1.6 6ème séance : Représentation intégrale & équations intégrales 1.7 7ème séance : TP FDTD 1.8 8ème séance : Applications et BEM 1.9 9ème séance : Suite BEM, temporel et FMM

Organisation du cours 2007-2008

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Séance 1 : introduction

Cours : Présentation générale

1. Applications et présentation du cours §1.4
2. Modélisation §1.2.1 et §1.2.2

TD : équation des ondes 1D

1. D’Alembert §2.2.1 et §2.2.2. Feuille d'exercice No. 1 - exo 1
2. Energie §2.2.4 Feuille d'exercice No. 1 - exo 2

Séance 2 : solutions explicites

Cours :

Cette séance est consacrée au calcul de quelques solutions explicites d’équations d’onde, en particulier les solutions élémentaires de ces équations. Ceci permet d’introduire naturellement des notions importantes comme la causalité et la condition de radiation.

• Formule de D’Alembert en dimension 1 d’espace

Il s'agit essentillement d'un rappel 1ère séance : c'est le premier exemple de solution explicite dans tout l’espace, puis d'une solution du problème de Cauchy.

• Solutions du problème homogène dans considéré homogène
  1. Ondes planes en électromagnétisme : domaines temporel et fréquentiel (Formules de calcul vectoriel). §1.3.2
  2. Ondes sphériques scalaires (Nous verrons plus loin qu’il s’agit d’intégrales d’ondes planes). §1.3.3
  3. Notions de causalité et condition de radiation de Sommerfeld §1.3.3
• Définition du problème de diffraction §1.3.4
  1. Définition d’un obstacle : perturbation du milieu homogène infini
  2. Onde incidente : solution dans tout l’espace de l’équation avec second membre (terme source)
  3. Onde diffractée : perturbation de l’onde incidente par la présence de l’obstacle

TD : Equation des ondes 1D (suite)

1. Analyse de Fourier en espace §2.3.3 Feuille d'exercice No. 1 - exo3
2. Fonction de Green §2.4.1 et §2.4.2 Feuille d'exercice No. 1 - exo4

3ème séance : Existence et unicité pour le problème de diffraction

Cours

• Solution élémentaire pour l’équation des ondes scalaire §3.2.1
  1. Rappel de la solution élémentaire du Laplacien
  2. Calcul de la solution élémentaire de l’équation de Helmholtz.

• Résolution explicite pour la symétrie sphérique
  1. Harmoniques sphériques §3.3.1
  2. Résolution du problème de Dirichlet §3.3.2 et §3.3.3
  3. Opérateur de Dirichlet-Neumann §3.3.4

• Eléménts pour l'analyse du problème de diffraction fréquentiel
  1. Définition d'un problème dans un domaine tronqué équivalent au problème de diffraction fréquentiel §3.4.3
  2. Formulation variationnelle du problème dans le domaine tronqué. §3.4.4
  3. Principe de la preuve d'existence et unicité. §3.4.4

TD : Analyse de problème de diffraction 3D

1. Dipôles électriques et magnétiques §3.2.2 Feuille 2 - exo1
2. Solutions explicites avec symétrie sphérique §3.3.2, §3.3.3 et §3.3.4 Feuille d'exercice No. 2 - exo2
3. Solution élémentaire de l'équation de Helmholtz en 3D §3.2.1 Feuille d'exercice No. 2 - exo3

4ème séance : Méthode des différences finies en domaine temporel

Cours

• Première analyse sur le cas simplifié de la dimension 1
  1. Le schéma saute-mouton §4.2.3
  2. Vitesse de propagation numérique. Condition nécessaire de convergence §4.2.4
  3. Identité d'énergie §4.2.5

• Schéma FDTD pour le système de Maxwell en dimension 3
  1. Le schéma de Yee §4.3.1
  2. Propriétés discrètes du schéma de Yee §4.3.2
  3. Analyse de stabilité §4.3.2 et §4.3.3

TD : Quelques propriétés du schéma aux différences finies

1. Dispersion numérique §4.2.7 et §4.3.3 Feuille d'exercice No. 3 - exo1
2. Analyse des θ-schémas Feuille d'exercice No. 3 - exo2

5ème séance : Représentation des solutions dans l’espace libre

Cours

• Distributions de simple et double couche §5.2
  1. Définitions :
     1. source ponctuelle en x_s: mathématiquement c'est δ(x − x_s)
     2. densité surfacique (sur Γ): c'est la distribution de simple couche, qu'on aurait pu noter δ_Γ(x)
     3. densité volumique : c'est la notion de fonction classique (plus ou moins régulière)...
• Rayonnement de sources dans l'espace libre §5.3

TD

finir §5.3 et

Feuille d'exercice No. 4 - exo1

6ème séance : Représentation intégrale & équations intégrales

Cours : §5.4 & §5.5

TD : §5.4 Projecteur de Calderón (exo3.pdf à mettre à jour)

7ème séance : TP FDTD

8ème séance : Applications et BEM

Cours : §5.6 et §6.2

• BEM

TD : fin exo3.pdf et exo4.pdf

9ème séance : Suite BEM, temporel et FMM

Cours : approfondissement §6.2 & §6.3

• BEM